금 교수는 과학기술부와 한국과학재단의 지원을 받는 특정기초연구사업 과제 수행으로 대수기하학 분야의 20년 동안 중요문제인 ‘유한 표수체 위에서 정의된 K3 곡면의 사교 유한대칭군의 분류’ 문제를 해결하는데 성공했다.
과기부는 “금 교수 논문이 수학연보에 게재됨으로써 국내 수학의 연구수준을 한 단계 높이는 계기가 될 것”이라면서 “이 성과를 발판으로 유한 표수체에 관한 후속 연구가 활발해질 것으로 기대된다”고 밝혔다.
대수기하학이란 도형의 생김새를 연구하는 기하학 중에서 변수가 여러 개인 방정식들로 정의되는 도형의 성질을 연구하는 분야이다.
지난 1985년 미국 수학회 하계연구소에서 일본 나고야대학의 S. Mukai 교수가 ‘복소수체 위에서 정의된 K3 곡면의 사교 유한대칭군의 분류’ 문제를 해결했다고 발표하면서, 유한 표수체 위에서 정의된 K3곡면의 경우에도 사교 유한대칭군의 분류가 가능한가라는 문제가 수학계의 주요한 연구대상으로 자리잡아왔다.
금 교수의 연구개발 업적은 복소수체 위에서 정의된 대수적 K3 곡면에 관하여 알려진 기존의 여러 연구 결과들을 마당체(ground field)의 표수(characteristic)가 양의 소수인 경우로 확장한 것이다.
우리가 흔히 K3 곡면이라 부르는 것은 복소수체 위에서 정의된 K3 곡면을 뜻한다.
즉, 단순연결이고 2차 미분형식 번들이 자명한 복소 2차원 다양체로서 이러한 곡면의 연구에 있어서 가장 강력한 수단은 바로 1970년대에 Piatetskii-Shapiro교수와 Shafarevich교수가 증명한 토렐리 정리이다.
이 정리에 의하면 K3곡면은 그 호지(Hodge)구조에 의해 완전히 결정된다는 것인데, 두 K3곡면이 서로 동형이라는 것과 두 곡면의 2차 코호몰로지군 사이에 호지구조를 보존하는 직교 선형사상이 존재한다는 것이 동치라는 것이다.
이 정리 덕분에 K3곡면에 관한 연구는 격자이론(lattice theory)에 다름 아니게 되었고, 이러한 기하적 용도에 유용한 격자이론을 V. Nikulin교수가 심도있게 발전시킨 바 있다.
주어진 K3 곡면 X의 자기동형사상군 Aut(X)는 X의 2차 홀로모르픽 미분형식공간에 작용하고 이 공간이 복소 1차원이므로 Aut(X)의 하나의 character를 정의한다. 이 cahracter의 가능한 위수는 모두 알려져 있다.
X의 자기동형사상 g의 character 값이 1이 되면 g를 심플렉틱하다고 하는데, 이는 g가 X의 2차 대역 미분형식을 보존하기 때문이다.
표수가 양의 소수 p인 마당체에서 정의된 K3곡면의 경우로 확장하려 할 때 발생하는 어려운 점은 이 경우 복소수체 위에서 정의된 K3 곡면에 대하여 성립하는 토렐리정리가 성립하지 않으며, 초특이(supersingular) K3 곡면이 존재하며, 또한 wild action이 존재한다는 사실이었다.
금 교수는 Dolgachev 교수와의 10년에 걸친 공동연구를 통하여, 토렐리정리를 대체할 수 있는 연구수단을 개발했고, wild action이 어떤 p에 대해서만 존재하는지를 규명하였으며, 이를 이용하여 복소수체 위에서 정의된 K3곡면에 작용하는 유한군에 관한 S. Mukai교수의 결과를 양의 표수인 경우로 확장하는데 성공했다.
즉, Mukai 군이 아닌 군들 중 어떤 군들이 더 나타나는지 모두 파악했고, 그 때의 K3곡면은 어떤 조건을 만족해야하는지 등을 밝혔으며, 궁극적으로 왜 문제가 어려웠는지도 모두 규명해냈다.
금 교수는 이 연구결과를 2003년 말 논문으로 완성하였으며 영국, 독일, 일본, 미국, 싱가포르, 대만의 여러 유명 대학 및 국제학회의 초청강연을 통해 검증을 거친 후, 최종 수정본이 수학분야 최고 학술지인 Annals of Mathematics지에 지난 1월에 게재됐다.
국내 연구자가 Annals of Mathematics지에 논문을 게재하게 되었다는 점은 국내 수학 연구수준을 한 단계 끌어올린 것으로 평가되고 있으며 유한 표수체에서 금 교수의 연구결과 발표로 인해 향후 많은 후속 연구들이 진행될 것으로 기대되고 있다.
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